MATEMÁTICAS DÉCIMO SEMANA SIETE A NUEVE

GUIA: 03__ AREA: MATEMATICAS GRADO: DECIMO JORNADA: MAÑANA PERIODO: TERCERO SEMANA: 7-9

DOCENTE: HERMES MEJIA ACCONCHA CORREO: mejiahermes12@gmail.com TELEFONO: 3155112961

UNIDAD TEMATICA: GEOMETRIA ANALITICA: (SECIONES CONICAS: circunferencia, parábola, elipse y hipérbola. )

ESTANDARES Y/O ORIENTACIONES PEDAGOGICAS:  Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas fi-guras. Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.  Reconozco y describo curvas y lugares geométricos.

DBA: Comprende y utiliza funciones para modelar fenómenos periódicos y justifica las soluciones  Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones.

LOGRO: Identifica con precisión la representación analítica de una circunferencia. Identifica correctamente la representación analítica de una parábola. Identifica con claridad la representación analítica de una elipse. Identifica correcta-mente la representa-ción analítica de una hipérbola.

TEMA: SECIONES CONICAS: circunferencia, parábola, elipse y hipérbola

Procedimiento: lea e interprete los conceptos establezca las ecuaciones para cada calculo; revise y copie los ejemplos con sus respectivos procedimientos. Resuelva la actividad en el cuaderno, guarde la evidencia y envíela por correo electrónico o por teléfono.

Un poco de Historia:

El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos. "...la peste se llevó una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema..."

"...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos...”

Fue Hipocrátes de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y Menecmo halló dichas curvas como secciones (las secciones en aquellos tiempos sólo se consideraban perpendiculares a la generatriz) de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de Perga quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y quien da una formulación definitiva. ; y su nombre Ellipsis (deficiencia), Hyperbola (avanzar más allá) y Parábola (colocar al lado o comparar) que indicaba que no había deficiencia ni exceso.

Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de la matemática antigua".

Mientras que Apolonio habia considerado tres tipos de curvas, Kepler prefería considerar cinco tipos... A partir de un par de rectas que se cortan, en la que los focos coinciden con el punto de intersección, podemos pasar gradualmente por un conjunto infinito de hipérbolas, según uno de los focos va alejandose más y más del otro. Cuando el segundo foco se haya alejado infinitamente, no tenemos ya una hipérbola con sus dos ramas sino una parábola. Según el foco móvil traspasa el punto del infinito y se va acercando de nuevo por el otro lado, vamos pasando por un conjunto de elipses, hasta que cuando los focos coinciden tenemos una circunferencia como último tipo de cónica. En 1609 enuncia Kepler sus dos primeras leyes astronómicas, los planetas se mueven alreedor del Sol sigueindo órbitas elípticas uno de cuyos focos es el Sol y el radio vector que va del Sol a un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

Boyer, C., "Historia de las Matemáticas". Alianza Universidad. Madrid. 1987

De acuerdo el lugar de la intersección y el ángulo de inclinación del plano, que denotamos por ß, es posible obtener círculos, hipérbolas, elipses o parábolas. Cuando el plano solo toca uno de los mantos del cono de forma perpendicular al eje se obtiene una circunferencia, Cuando el plano solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de sus aristas se obtiene una Elipse. Cuando el plano corta los dos mantos del cono se obtiene una hipérbola. Cuando el plano que corta es paralelo a una de las aristas del cono se obtiene una parábola.

Elementos de las cónicas

Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

LA CIRCUNFERENCIA:

Aunque es la primera que nos encontramos en las intersecciones de nuestro cono, es un caso particular de la elipse. La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano de forma perpendicular al eje. Por tanto el ángulo de inclinación ß= 90º

La circunferencia es una figura geométrica cuyos puntos están a una distancia constante, llamada radio (r), del centro (C). La superficie plana comprendida dentro de una circunferencia es el círculo.